振動問題演習2 技術士一次試験対策 【過去問解説】

本記事では、振動に関する各種例題を技術士一次試験過去問を用いて解説します。

問題1

問題画像は公益社団法人日本技術士会ホームページからダウンロードしたものです。

【令和3年度技術士一次試験[専門科目]　機械部門 Ⅲ-19】

【解答】

ばねの引く力を$F$、おもりが定滑車を下に引く力を$T$、円板の慣性モーメント$J$とすると、回転運動の運動方程式は、

$$J\ddot{\theta}=Fa+Ta$$

力のつりあいより、$F=-kx$。また、円板の慣性モーメントは$J=\frac{1}{2}Ma^2$なので、

$$\frac{1}{2}Ma^2\ddot{\theta}=-kxa+Ta$$

$x=a\theta$より、$\ddot{x}=a\ddot{\theta}$

$$\frac{1}{2}Ma^2\frac{\ddot{x}}{a}=-kxa+Ta$$

$$\frac{1}{2}M\ddot{x}=-kx+T$$

$$T=\frac{1}{2}M\ddot{x}+kx$$

おもりについて運動方程式は、

$$m\ddot{x}=mg-T$$

$T$を代入すると、

$$m\ddot{x}=mg-\left(\frac{1}{2}M\ddot{x}+kx\right)$$

$$\left(m+\frac{1}{2}M\right)\ddot{x}+kx-mg=0$$

よって、この運動方程式の固有振動数$\omega$は（考え方はこちらを参考にしてください）、

$$\omega=\sqrt{\frac{k}{\left(m+\frac{1}{2}M\right)}}$$

$$\omega=\sqrt{\frac{2k}{2m+M}}$$

求める固有周期は、

$$\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{2m+M}{2k}}$$

よって、正解は②です。

問題2

問題画像は公益社団法人日本技術士会ホームページからダウンロードしたものです。

【令和3年度技術士一次試験[専門科目]　機械部門 Ⅲ-21】

【解答】

運動方程式は、

$$m\ddot{x}+kx-f=0$$

正弦波状の力$f$を$f=f_0\sin\omega t$とすると、

$$m\ddot{x}+kx-f_0\sin\omega t=0$$

この運動方程式の形の変位$x$は（考え方はこちらを参考にしてください）、

$$x=-\frac{f’}{\omega^2-\omega_0^2}\sin\omega t$$

$\left(\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}, f’=\frac{f_0}{m}\right)$

ばねが床に伝達する力$F$は、

$$F=-kx$$

$$=\frac{f’k}{\omega^2-\omega_0^2}\sin\omega t$$

$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$、$f’=\frac{f_0}{m}$を代入すると、

$$=\frac{\frac{f_0}{m}k}{\omega^2-\left(\frac{k}{m}\right)^2}\sin\omega t$$

よって、$F$の振幅は、

$$\frac{\frac{f_0}{m}k}{\omega^2-\left(\frac{k}{m}\right)^2}$$

これが、$f$の振幅$f_0$の50%未満になるので、

$$\frac{f_0k}{m\omega^2-k}<\frac{1}{2}f_0$$

$$k<\frac{1}{2}\left(m\omega^2-k\right)$$

$$k<\frac{1}{2}m\omega^2-\frac{1}{2}k$$

$$\frac{3}{2}k<\frac{1}{2}m\omega^2$$

$$k<\frac{1}{3}m\omega^2$$

よって、正解は①です。

まとめ

技術士一次試験の過去問を用いて振動に関する問題を解説しました。

振動の分野は問題演習で慣れることが必要です。

過去問を中心に多くの問題に触れましょう!