ねじり角、ねじりモーメントとは? 技術士一次試験過去問も解説! 【丸棒のねじり】

今回は丸棒のねじりです。

ねじりモーメント、ねじり角、比ねじり角などがでてきます。

違いを知り、式を導出してみてください。

ねじりモーメントとねじれ角

ねじりモーメントとは、図のように丸棒などの物体をねじる方向にかかるモーメントのことをいいます。

このときのねじれる角度をねじれ角といいます。

今回は以下のように定義します。

$T$: ねじりモーメント[$N{\cdot}m$]

$\phi$: ねじれ角[rad]

丸棒のねじり

直径$D$、長さ$dx$の丸棒の端にねじりモーメント$T$が作用しているとします。

中心から$r$の位置に作用するせん断ひずみ$\gamma$は、

$$\gamma=r\cdot\frac{d\phi}{dx}$$

となります。よって、せん断応力$\tau$は、

$$\tau=G\cdot\gamma=G\cdot r\cdot\frac{d\phi}{dx}$$

ここで、$\frac{d\phi}{dx}=\theta$とすると、

$$\tau=Gr\theta$$

となります。

$\theta$は単位長さあたりのねじり角であり、比ねじり角といわれます。

ここで、丸棒断面に生じるせん断応力$\tau$を考えます。

中心から$r$の位置にある幅$dr$の輪に働く微小モーメント$dT$は

$dT=$(輪までの距離)×($\tau$により輪に作用する力)ですので、

$$dT=r\times(\tau\cdot2\pi r\cdot dr)$$

$$=2\pi r^2 dr\cdot\tau$$

$\tau=Gr\theta$だから、

$$dT=2\pi Gr^3\theta dr$$

これを断面全体について積分すると、$T$になるので、

$$T=\int_{0}^{\frac{D}{2}} 2\pi Gr^3\theta dr$$

$$=\frac{\pi D^4}{32}G\theta$$

ここで、丸棒の断面二次極モーメント$I_p=\frac{\pi D^4}{32}$ですので、

$$T=I_pG\theta$$

比ねじり角$\theta$は、

$$\theta=\frac{T}{G\cdot I_p}$$

$$=\frac{32T}{\pi GD^4}$$

とくに、丸棒の長さ$l$の場合、比ねじり角$\theta$は、

$$\theta=\frac{d\phi}{dx}=\frac{\phi}{l}$$

ですので、ねじり角$\phi$は

$$\phi=\frac{Tl}{G I_p}$$

と表せます。

また、せん断応力$\tau$は、

$$\tau=Gr\theta=Gr\cdot\frac{32T}{\pi D^4}$$

$r=\frac{D}{2}$のとき、最大せん断応力$\tau_{MAX}$となるので、

$$\tau_{MAX}=G\cdot \frac{D}{2}\cdot\frac{32T}{\pi D^4}$$

$$=\frac{16T}{\pi D^3}$$

とできます。

断面二次極モーメント

中実丸棒の断面二次極モーメント$I_p$は、

$$I_p=\frac{\pi D^4}{32}$$

と述べましたが、中空丸棒の断面二次極モーメント$I_p$は、

内径$D_1$、外径$D_2$とすると、

$$I_p=\frac{\pi}{32}\left(D_2^4-D_1^4\right)$$

となります。

問題

問題画像は公益社団法人日本技術士会ホームページからダウンロードしたものです。

【令和3年度技術士一次試験[専門科目]　機械部門 Ⅲ-7】

【解答】

中軸丸棒Aについて比ねじり角は、

$$\theta=\frac{T}{G\cdot I_p}=\frac{32T}{\pi Gd^4}$$

となるので、最大せん断応力$\tau_A$は、

$$\tau_A=G\cdot \frac{d}{2}\cdot\frac{32T}{\pi d^4}$$

$$=\frac{16T}{\pi d^3}$$

中空丸棒Bについて断面二次極モーメント$I_p$は、

$$I_p=\frac{\pi}{32}\left(D_2^4-D_1^4\right)$$

$$=\frac{\pi}{32}\left\{ d^4-\left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^4\right\}$$

$$=\frac{\pi}{32}\cdot\frac{3}{4}d^4$$

よって、比ねじり角$\theta$は、

$$\theta=\frac{T}{G\cdot I_p}$$

$$=\frac{32T}{\pi Gd^4}\cdot\frac{4}{3}$$

最大せん断応力$\tau_B$は、

$$\tau_B=G\cdot \frac{d}{2}\cdot\frac{32T}{\pi d^4}\cdot\frac{4}{3}$$

$$=\frac{16T}{\pi d^3}\cdot\frac{4}{3}$$

以上より、$\tau_B/\tau_A$は、

$$\frac{\tau_B}{\tau_A}=\frac{4}{3}$$

よって、正解は②です。

まとめ

導出した式をまとめます。

丸棒の比ねじり角$\theta$

$$\theta=\frac{\phi}{l}$$

丸棒のねじり角$\phi$

$$\phi=\frac{Tl}{G I_p}$$

せん断応力$\tau$

$$\tau=Gr\theta$$

側面最表面（$r=\frac{D}{2}$）にて$\tau$は最大せん断応力となる

中実丸棒の断面二次極モーメント$I_p$

$$I_p=\frac{\pi D^4}{32}$$

中空丸棒の断面二次極モーメント$I_p$

$$I_p=\frac{\pi}{32}\left(D_2^4-D_1^4\right)$$

公式を使いこなせるまで、演習を積むことが大切です。

過去問を中心に練習しましょう。