座屈荷重とは? 暗記すべき4つの端末条件【技術士】

今回は柱の座屈について解説します。

技術士一次試験でも頻出の分野ですので、必ず公式を覚えましょう。

座屈とは?

長柱に圧縮荷重を加えた際、ある荷重になると「ぐにゃ」と急に不安定になりたわむ現象を「座屈」といいます。

このとき、座屈する荷重を「座屈荷重」といいます。

また、座屈するときの応力を「座屈応力」といいます。

座屈荷重は長柱の形状などの条件によって変化します。

この諸条件を整理し、座屈荷重・座屈応力を求めたものがオイラーの公式と呼ばれます。

オイラーの公式

座屈荷重に関するオイラーの公式は以下のようになります。

• $P_{cr}$: 座屈荷重[$N$]
• $n$: 係数
• $E$: ヤング率
• $I$: 断面二次モーメント
• $l$: 長柱の長さ

両端の柱の固定方法など（端末条件）によって係数$n$は以下のように変わります。

これらの端末条件と係数の関係は、技術士一次試験でも頻出ですので、暗記しておくことをおすすめします。

問題1

問題画像は公益社団法人日本技術士会ホームページからダウンロードしたものです。

【令和3年度技術士一次試験[専門科目]　機械部門 Ⅲ-8】

【解答】

正方形断面の断面二次モーメントは、一辺が$a$のとき、

$$I=\frac{a^4}{12}$$

となります。

また、「一端固定・他端自由」であるので、係数$n=1/4$です。

よって、座屈荷重は、

$$P_{cr}=\frac{\pi^2EI}{4l^2}$$

$$=\frac{\pi^2\cdot 200\times10^9\cdot \frac{\left(\frac{40}{1000}\right)^4}{3}}{4\cdot 2^2}$$

$$=26319 \text[N]$$

$$\approx26\text[kN]$$

よって、正解は⑤です。

問題2

問題画像は公益社団法人日本技術士会ホームページからダウンロードしたものです。

【令和2年度技術士一次試験[専門科目]　機械部門 Ⅲ-8】

【解答】

端末条件は、「一端固定・他端固定」ですので、

座屈荷重は、

$$P_{cr}=\frac{4\pi^2EI}{l^2}$$

となります。

正解は①です。

問題3

問題画像は公益社団法人日本技術士会ホームページからダウンロードしたものです。

【令和1年度技術士一次試験[専門科目]　機械部門 Ⅲ-8】

【解答】

各図の端末条件と座屈荷重は、

図（a）「一端固定・他端自由」

$$P_{a}=\frac{\pi^2EI}{4l^2}$$

図（b）「一端回転・他端回転」

$$P_{b}=\frac{\pi^2EI}{l^2}$$

図（c）「一端固定・他端固定」

$$P_{c}=\frac{4\pi^2EI}{l^2}$$

となります。

図（b）と図（c）の座屈荷重は、

$P_{b}=4P_{a}=40$[kN]

$P_{c}=16P_{a}=160$[kN]

となります。

正解は、⑤です。

まとめ

今回は、座屈荷重について学習しました。

4つの端末条件を暗記して、問題演習を積みましょう。

過去問を完璧に解けるように繰り返し解くことが、技術士一次試験合格の近道です。