公称応力、公称ひずみ、真応力、真ひずみの関係! 【応力と歪み】

今回は、公称応力、公称ひずみ、真応力、真ひずみの関係式を計算します。

応力と歪みの基本について復習したい方は、こちらの記事を参考にしてください。

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2022.3.27

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応力とひずみ

底面積$A_0$、高さ$l_0$の円柱を荷重$P$で引っ張り、$A_1$、$l_1$に変形したとします。

このときの公称応力、公称ひずみ、真応力、真ひずみは

公称応力　$σ_n=\frac{P}{A_{0}}$

公称ひずみ　$ε_n=\frac{l_1-l_0}{l_0}$

真応力　$σ_t=\frac{P}{A_1}$

真ひずみ　$ε_t=\ln\frac{l_1}{l_0}$

公称ひずみと真ひずみ

ここで、公称ひずみ$ε_n$について、

$$ε_n=\frac{l_1-l_0}{l_0}=\frac{l_1}{l_0}-1$$

と変形できるので、

$$\frac{l_1}{l_0}=ε_n+1$$

となります。

また、真ひずみ$ε_t$については、

$$\frac{l_1}{l_0}=e^{ε_t}$$

となります。

以上より、$\frac{l_1}{l_0}$についての式から、

公称ひずみと真ひずみの関係は、

$$ε_n+1=e^{ε_t}$$

$$ε_t=\ln{\left(ε_n+1\right)}$$

となります。

公称応力と真応力

変形の前後で体積が一定であると仮定します。

$$A_0\cdot l_0= A_1\cdot l_1$$

真応力$σ_t$について、

$$σ_t=\frac{P}{A_1}$$

$$=\frac{P}{A_0}\cdot\frac{A_0}{A_1}$$

$$=σ_n\cdot\frac{A_0}{A_1}$$

$$=σ_n\cdot\frac{l_1}{l_0}$$

$$=σ_n e^{ε_t}$$

また、公称ひずみと真ひずみの関係$ε_t=\ln{\left(ε_n+1\right)}$より、

$$σ_t=σ_n\left(ε_n+1\right)$$

とも変形できます。

まとめ

導出した関係式をまとめます。

公称ひずみと真ひずみの関係

$$ε_t=\ln{\left(ε_n+1\right)}$$

公称応力と真応力の関係

$$σ_t=σ_n e^{ε_t}$$

今回まとめた関係式は、材料力学の基本となる関係式です。

読むだけでは理解しにくい部分もあるかもしれません。

ぜひ紙に書いて導出してみてください。