【応力と歪み】フックの法則とは? 技術士一次試験過去問解説

今回は材料力学の基礎、応力と歪みを説明します。

応力と歪み

まずは意味から確認します。

「応力」とは、単位面積に作用する力のことです。

一方、「歪み」とは、物体の歪んだ量と代表長さの比率のことをいいます。

応力と歪みは材料がどれだけ変形したかの指標となります。

とくに弾性領域（のちに説明）ではフックの法則と合わせて用いることで、材料の変形量を計算で求めることができるようになります。

断面積$A_0$ $[m^2]$、高さ$L_0$ $[m]$の材料を荷重$P$ $[N]$で引っ張るとき、応力と歪みは以下のように定義されます。

公称応力と公称歪み

変形前、断面積$A_0$ $[m^2]$、高さ$L_0$ $[m]$の材料を荷重$P$ $[N]$で引っ張るとき、

公称応力と公称ひずみは以下のように定義されます。

• $σ$ $[N/m^2]$：応力
• $ε$ $[-]$　：歪み
• $P$ $[N]$　：荷重
• $A$ $[m^2]$　：面積
• $L$ $[m]$　：長さ
• $λ$ $[m]$　：歪み量

真応力と真歪み

また、「公称応力」、「公称歪み」とは別に「真応力」、「真歪み」という表現もあるので、確認しておきます。

断面積$A_0$ $[m^2]$、高さ$L_0$ $[m]$の材料を荷重$P$ $[N]$で引っ張り、

断面積$A$ $[m^2]$、高さ$L$ $[m]$の状態になったとき、

「真応力」と「真歪み」はこのようになります。

一般に、一軸引張試験を行った際に得られるのは公称応力ー公称歪み曲線です。

応力ー歪み曲線（鋼）

一般的な鋼の公称応力ー公称歪み曲線はこのようになります。

応力ー歪み曲線は一般に、「弾性域」と「塑性域」に分かれます。

弾性域

弾性域とはフックの法則が成立する範囲です。

この範囲では、変形した材料は荷重を取り除くともとの形状に戻ります。

塑性域

塑性域では、荷重を取り除いてももとの形状に戻りません。

この範囲ではフックの法則は成り立たず、この領域での応力と歪みはn乗硬化則という法則に則ります。

フックの法則

弾性域における、応力と歪みの関係を示したのが、フックの法則です。

$E$ $[N/m^2]$：ヤング率（縦弾性係数）

先程までの知識を使い、以下のように書くこともできます。

$$\frac{P}{A_0}=E\frac{λ}{L_0}$$

このヤング率$E$は、材料によってその値が決まっています。

材料	ヤング率（縦弾性係数） [GPa]
ゴム	0.01~0.1
PET	2~3
木材	8
Mg合金	40
Al合金	70
銅	200
ダイヤモンド	1000

問題

【解答】

$BC$間にかかる引張力を$F_{BC}$、$CD$間にかかる圧縮力を$F_{CD}$とすると、力のつりあいより

$$F_{BC}+F_{CD}=P$$

点Cの移動量を$λ$とすると

$$\frac{F_{BC}}{A}=E\frac{λ}{a}$$

$$\frac{F_{CD}}{A}=E\frac{λ}{b}$$

よって

$$P=F_{BC}+F_{CD}$$

$$P=AE\frac{λ}{a}+AE\frac{λ}{b}$$

$$P=AEλ\frac{a+b}{ab}$$

$$λ=\frac{Pab}{a+b}\left(\frac{1}{AE}\right)$$

$$=\frac{Pab}{l}\left(\frac{1}{AE}\right)$$

よって正解は⑤となります。

まとめ

いかがだったでしょうか。

材料力学の基本である、応力と歪みについて説明しました。

応力と歪み、フックの法則を利用する問題は技術士一次試験でも頻出です。

必ず理解して得点できるようになってください。

過去問を完璧に解けるように繰り返し解くことが、技術士一次試験合格の近道です。

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