モールの応力円の導出と書き方を解説! 【モールの応力円】

2022年1月4日 2022年3月27日

ぺろ

今回は、モールの応力円の式を導出していきます。

✔学習内容

・モールの応力円の式を導く
・モールの応力円の読み方
・主応力、主せん断応力の定義
・モールの応力円の書き方
・例題（令和3年度技術士一次試験[専門科目]　機械部門 Ⅲ-9）

読むだけでは理解しにくいですので、紙にかいて勉強してみたください!

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モールの応力円の導出

2次元において、応力の作用面が$\theta$傾いたとき、垂直応力$\sigma’_{xx}$、せん断応力$\tau’_{xy}$は、

$$\sigma’_{xx}=\frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2}+\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\cos2\theta+\tau_{xy}\sin2\theta$$

$$\tau’_{xy}=\frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2}\sin2\theta+\tau_{xy}\cos2\theta$$

となることは、こちらの記事で説明しました。

この式について以下のように変形し、

$$\sigma’_{xx}\color{red}-\frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2}\color{black}=\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\cos2\theta+\tau_{xy}\sin2\theta$$

$$\tau’_{xy}=\frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2}\sin2\theta+\tau_{xy}\cos2\theta$$

2つの式の両辺を2乗して足すと、

$$\left(\sigma’_{xx}-\frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2}\right)^2+\tau’^2_{xy}=\left(\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\right)^2+\tau^2_{xy}$$

となります。これがモールの応力円の式です。

モールの応力円の読み方

モールの応力円
$$\left(\sigma’_{xx}-\frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2}\right)^2+\tau’^2_{xy}=\left(\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\right)^2+\tau^2_{xy}$$

円の中心の座標

$\left(\frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2}, 0\right)$

円の半径

${\sqrt{\left(\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}}$

どのような傾きの作用面であったとしても、垂直応力とせん断応力は必ずこの円上にあります。

主応力

せん断応力がゼロになるとき、垂直応力は最大・最小となります。このような垂直応力を主応力といいます。

主応力はモールの応力円上で、$\sigma_{1}$、$\sigma_{2}$と表されます。

主応力
$$\sigma_{1}=\sigma_{max}=\frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2}+{\sqrt{\left(\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}}$$
$$\sigma_{2}=\sigma_{min}=\frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2}-{\sqrt{\left(\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}}$$

この、最大・最小の垂直応力が作用する面を主応力面といいます。

主応力面
$$\tan2\theta^*=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}$$

主せん断応力

せん断応力が最大となるときのせん断応力を主せん断応力といいます。

この面を主せん断応力面と呼びます。

主せん断応力
$$\tau_{max}=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{2}}{2}=\frac{\sigma_{max}-\sigma_{min}}{2}={\sqrt{\left(\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}}$$