ねじり強さとは? 【ねじりばねの振動】

本記事では、ねじりばねについて解説します。

ねじり強さ

ある棒を1 [rad]だけねじるのに必要なトルクを「ねじり強さ」と呼びます。

また、「ねじり強さ: $T$」は「ねじりばね定数: $k$」としても使用されます。

長さ$l$、直径$D$の棒が$\phi$ねじれるとき、比ねじり角$\theta$は、

$$\theta=\frac{d\phi}{dx}=\frac{\phi}{l}=\frac{32T}{\pi GD^4}$$

となります。丸棒のねじれについてはこちらを参考にしてください。

ねじりばね定数$k$は、1 [rad]だけねじるのに必要なトルク$T$なので、

$\phi=1$のとき$T=k$とすると、

$$\frac{\phi}{l}=\frac{32T}{\pi GD^4}$$

$$\frac{1}{l}=\frac{32k}{\pi GD^4}$$

$$k=\frac{\pi GD^4}{32l}$$

と表せます。

ねじりばね定数 $k$[$N{\cdot}m$]

$$k=\frac{\pi GD^4}{32l}$$

$G$: 剛性率

$D$: 丸棒の直径

$l$: 丸棒の長さ

問題

問題画像は公益社団法人日本技術士会ホームページからダウンロードしたものです。

【令和3年度技術士一次試験[専門科目]　機械部門 Ⅲ-16】

【解答】

円板について慣性モーメント: $J$より、

$$J\ddot{\theta}=-k\theta$$

$$J\ddot{\theta}+k\theta=0$$

$$\ddot{\theta}+\left(\frac{k}{J}\right)\theta=0$$

この方程式の形から、

$\theta$の係数が$\omega^2$（$\omega$: 固有振動数）ですので、（考え方はこちらの記事を参考にしてください）

$$\omega^2=\frac{k}{J}$$

$$\omega=\sqrt{\frac{k}{J}}$$

よって正解は③です。

また、$k=\frac{\pi GD^4}{32l}$ですので、代入し

$$\omega=\sqrt{\frac{k}{J}}=\sqrt{\frac{\pi GD^4}{32lJ}}$$

とできます。

さらに、質量$m$、直径$D$の円板の慣性モーメント$J$は$J=\frac{1}{8}mD^2$ですので、

$$\omega=\sqrt{\frac{\pi GD^4}{32lJ}}=\sqrt{\frac{\pi GD^2}{4lm}}$$

と変形することもできます。

まとめ

今回は、ねじりばねについて学習しました。

振動は様々な問題に触れて慣れることが必要になる分野です。

今回の問題のみならず、参考書や過去問を繰り返し解いてみてください。

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